Каталог книг

Теория функций комплексного переменного

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Для студентов инженерных специальностей в области автоматики, электроники, микроэлектроники и радиотехники. Книга охватывает материал, предусмотренный государственным стандартом. Отличительной особенностью этого пособия является изложение практической части курса, рассчитанной на двенадцать семинарских занятий. Даны ответы, часть задач решена, ко многим задачам имеются указания имеются указания. Завершает учебное пособие приложение "Типовой расчет", содержащее 16 практических заданий, в каждом из которых имеется 30 вариантов задач. Пособие предназначено также студентам заочного и вечернего обучения. Допущено Научно-методическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальностях "Электроника и микроэлектроника", "Физическая электроника", "Микроэлектроника и твердотельная электроника", "Электронные приборы и устройства", "Промышленная электроника".

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
О. Острая Теория функций комплексного переменного О. Острая Теория функций комплексного переменного 320 р. litres.ru В магазин >>
Половинкин Е. Теория функций комплексного переменного. Учебник Половинкин Е. Теория функций комплексного переменного. Учебник 432 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Грищенко А., Нагнибида Н., Настасиев П. Теория функций комплексного переменного. Решение задач Грищенко А., Нагнибида Н., Настасиев П. Теория функций комплексного переменного. Решение задач 427 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Шабунин М., Сидоров Ю. Теория функций комплексного переменного Шабунин М., Сидоров Ю. Теория функций комплексного переменного 613 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Пантелеев А., Якимова А. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах Пантелеев А., Якимова А. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах 1362 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Просветов Г. Теория функций комплексного переменного Задачи и реш. Просветов Г. Теория функций комплексного переменного Задачи и реш. 95 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
М. И. Шабунин Теория функций комплексного переменного М. И. Шабунин Теория функций комплексного переменного 495 р. litres.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Теория функций комплексного переменного, Морозова В

Теория функций комплексного переменного, Морозова В.Д., 2009

Теория функций комплексного переменного, Морозова В.Д., 2009.

Содержание учебника соответствует курсу лекций, который автор читает в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Для студентов технических университетов. Может быть полезен преподавателям, аспирантам и инженерам.

Нахождение всевозможных разложении функции по заданным степеням.

Рассмотрим задачу о разложении функции f(z) в ряд Лорана по степеням z - z0, т.е. в ряд с центром в точке z0. Такое разложение тесно связано с наличием и расположением особых точек функции (см. 6.4 и 6.5). На границе круга сходимости ряда Тейлора, на внутренней и внешней границах кольца сходимости ряда Лорана имеются особые точки разлагаемой в ряд функции. Упрощая задачу, будем предполагать, что функция является аналитической всюду в комплексной плоскости, за исключением некоторого конечного множества особых точек. Каждая такая точка имеет окрестность, в которой нет других особых точек, т.е. все эти точки являются изолированными особыми точками.

Предисловие Основные обозначения

1.1. Алгебраическая форма записи комплексного числа

1.2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа

1.3. Бесконечно удаленная точка. Сфера Римана

1.4. Геометрия на комплексной плоскости

1.5. Задание множества точек на комплексной плоскости

Вопросы и задачи

2. Последовательности и ряды комплексных чисел

2.1. Последовательности комплексных чисел

2.2. Комплексные числовые ряды

2.3. Степенные ряды

2.4. Круг сходимости

2.5. Двусторонний степенной ряд

Вопросы и задачи

3. Функции комплексного переменного

3.1. Определение и геометрическое представление функции комплексного переменного

3.2. Предел и непрерывность функций комплексного переменного

3.3. Элементарные функции комплексного переменного

3.4. Многозначная функция Arg z

3.5. Логарифмическая функция

3.6. Обратные тригонометрические функции

Вопросы и задачи

4. Дифференцирование функций комплексного переменного

4.1. Производная функции комплексного переменного

4.2. Необходимые условия дифференцируемости

4.3. Достаточные условия дифференцируемости

4.4. Условия Коши — Римана в полярных координатах

4.5. Правила дифференцирования функций комплексного переменного

4.6. Аналитические функции

4.7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной

4.8. Теорема о единственности аналитической функции

4.9. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части

4.10. Понятие об аналитическом продолжении

Вопросы и задачи

5. Интегрирование функций комплексного переменного

5.1. Понятие и вычисление интеграла от функции комплексного переменного

5.2. Интегральные теоремы Коши

5.3. Независимость интеграла от пути интегрирования

5.4. Формула Ньютона — Лейбница

5.5. Интегральная формула Коши

5.6. Высшие производные аналитической функции

5.7. Достаточные условия аналитичности функции

Д-5.1. Комплексный потенциал плоского векторного поля

Вопросы и задачи

6. Функциональные ряды на комплексной плоскости

6.1. Равномерная сходимость функциональных рядов

6.2. Свойства равномерно сходящихся рядов

6.4. Разложение функций в ряд Тейлора

6.6. Нахождение всевозможных разложений функции по заданным степеням

6.7. Связь ряда Лорана с рядом Фурье

Вопросы и задачи

7. Нули и особые точки аналитической функции

7.1. Нули аналитической функции

7.2. Изолированные особые точки

7.3. Бесконечно удаленная точка как особая

7.4. Классификация аналитических функций по их особым точкам

Д.7.1. Физическое толкование полюсов аналитической функции

Вопросы и задачи

8. Вычеты в изолированных особых точках

8.1. Вычет в конечной точке

8.2. Вычисление вычета в полюсе

8.3. Вычет в бесконечно удаленной точке

8.4. Применение вычетов для вычисления интегралов

8.5. Логарифмический вычет

Д.8.1. Вычисление интегралов от действительных функций

Вопросы и задачи

9. Геометрические принципы теории функций комплексного переменного

9.1. Взаимно однозначные отображения

9.2. Свойства конформных отображений

9.3. Теорема Римана

9.4. Принцип соответствия границ

9.5. Принцип максимума модуля функции

9.6. Принцип симметрии

Вопросы и задачи

10. Конформные отображения

10.1. Линейное отображение

10.2. Дробно-линейное отображение

10.3. Целая степенная функция

10.4. Показательная функция

10.5. Функция Жуковского

10.6. Тригонометрические и гиперболические функции

10.7. Однозначные ветви многозначных обратных функций

Д. 10.1. Отображение полуплоскости на внутренность прямоугольника

Д.10.2. Интеграл Кристоффеля — Шварца

Вопросы и задачи

11.1. Предварительные замечания

11.2. Непосредственное использование известного комплексного потенциала

11.3. Обтекание цилиндрического тела

11.4. Течение жидкости в каналах

11.5. Задачи различного физического содержания

Список рекомендуемой литературы

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате и читать:

Источник:

nashol.com

Теория функций комплексной переменной

Теория функций комплексной переменной

к практическим занятиям

по высшей математике

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

ТФКП: Методические указания к решению задач / сост.: В.Г.Дюмин, А.М.Коточигов, Н.Н.Сосновский.СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010. 32с.

Содержат примеры решения основных типов задач ТФКП, ориентированных на выполнение заданий, формирующих оценку текущего контроля по этой дисциплине. Предназначены для студентов ФКТИ всех специальностей.

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2010

Функции комплексного переменного ,, в общем случае отличаются от отображений вещественной плоскостив себятолько формой записи. Важным и чрезвычайно полезным объектом оказывается класс функции комплексного переменного,

имеющих производную такую же, как и функции одной переменной. Известно, что функции нескольких переменных могут иметь частные производные и производные по направлению, но, как правило, производные по разным направлениям не совпадают, и говорить о производной в точке не возможно. Однако для функций комплексной переменной удается описать условия, при которых они допускают дифференцирование. Изучение свойств дифференцируемых функций комплексного переменного составляет содержании методических указаний. Указания ориентированны на демонстрацию того, как свойства таких функций могут быть использованы для решения разнообразных задач. Успешное освоение, излагаемого материала невозможно без элементарных навыков вычислений с комплексными числами и знакомства с простейшими геометрическими объектами, определяемыми в терминах неравенств, связывающих вещественную и мнимую часть комплексного числа, а так же его модуль и аргумент. Краткое изложение всех необходимых для этого сведений можно найти в методических указаниях [1].

Стандартный аппарат математического анализа: пределы, производные, интегралы, ряды широко используется в тексте методических указаний. Там, где эти понятия имеют свою специфику, по сравнению с функциями одной переменной, приведены соответствующие пояснения, но в большинстве случаев достаточно разделить вещественную и мнимую часть и применить к ним стандартный аппарат вещественного анализа.

1. Элементарные функции комплексного переменного

Обсуждение условий дифференцируемости функций комплексного переменного, естественно начать с выяснения того, какие элементарные функции обладают этим свойством. Из очевидного соотношения

Вытекает дифференцируемость любого многочлена. И, поскольку, степенной ряд можно дифференцировать почленно внутри круга его сходимости,

то любая функция дифференцируема в точках, в окрестности которых ее можно разложить в ряд Тейлора. Это достаточное условие, но, как вскоре выясниться, оно является и необходимым. Исследование функций одной переменной по производной удобно поддерживать, контролируя поведение графика функции. Для функций комплексного переменного такой возможности нет. Точки графика лежат в пространстве размерности 4, .

Тем не менее, некоторое графическое представление о функции можно получить, рассматривая образы достаточно простых множеств комплексной плоскости , возникающие под воздействием заданной функции. Для примера, рассмотрим, с этой точки зрения несколько простых функций.

Линейная функция

Эта простая функции очень важна, тек как любая дифференцируемая функция локально похожа на линейную. Рассмотрим действие функции с максимальной подробностью

здесь -- модуль комплексного числаи-- его аргумент. Таким образом, линейная функция осуществляет растяжение, поворот и сдвиг. Следовательно, линейное отображение переводит любое множество в подобное множество. В частности, под воздействием линейного отображения прямые переходят в прямые, а окружности в окружности.

Функция

Эта функция -- следующая по сложности за линейной. Трудно ожидать, что она переведет любую прямую в прямую, а окружность в окружность, простые примеры показывают, что этого не происходит, тем не менее, можно показать, что эта функция переводит множество всех прямых и окружностей в себя. Чтобы убедится в этом, удобно перейти к вещественному (координатному) описанию отображения

Для доказательства потребуется описание обратного отображения

Рассмотрим уравнение если, то получится общее уравнение прямой. Если, то

Следовательно, при получается уравнение произвольной окружности.

Отметим, что если и, то окружность проходит через начало координат. Если жеи, то получится прямая, проходящая через начало координат.

Под действие инверсии рассматриваемое уравнение перепишется в виде

, ()

или . Видно, что это тоже уравнение, описывающие либо окружности, либо прямые. То, что в уравнении коэффициентыипоменялись местами, означает, что при инверсии прямые, проходящие через 0, перейдут в окружности, а окружности, проходящие через 0, перейдут в прямые.

Степенные функции

Главное отличие этих функцией от рассмотренных ранее состоит в том, что они не являются взаимно однозначными (). Можно сказать, что функцияпереводит комплексную плоскость в два экземпляра той же плоскости. Аккуратное рассмотрение этой темы требует использования громоздкого аппарата римановых поверхностей и выходит за рамки рассматриваемых здесь вопросов. Важно понимать, что комплексную плоскость можно разделить на секторы, каждый из которых взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость. Это разбиение для функциивыглядит так,Например, верхняя полуплоскость взаимно однозначно отображается на комплексную плоскость функцией. Искажения геометрии для таких изображений описать сложнее, чем в случае инверсии. В качестве упражнения можно проследить, во что переходит сетка прямоугольных координат верхней полуплоскости при отображении

Видно, что сетка прямоугольных координат переходит в семейство парабол, образующих систему криволинейных координат в плоскости . Описанное выше разбиение плоскости таково, что функцияотображает каждый изсекторов на всю плоскость. Описание прямого и обратного отображения выглядит так

Таким образом, функция имеетразличных обратных функций,

заданных в различных секторах плоскости

В таких случаях говорят, что отображение многолистно.

Функция Жуковского

Функция имеет собственное названия, поскольку она составила основу теории крыла летательного аппарата, созданную Жуковским (описание этой конструкции можно найти в книге [2]). Функция обладает рядом интересных свойств, остановимся на одном из них – выясним, на каких множествах эта функция действует взаимнооднозначно. Рассмотрим равенство

, откуда .

Следовательно, функция Жуковского взаимнооднозначна в любой области, в которой для любых иих произведение не равно единице. Таковыми являются, например, открытый единичный круги дополнение замкнутого единичного круга.

Рассмотрим действие функции Жуковского на окружности , тогда

.

Разделяя вещественную и мнимую части, получим параметрическое уравнение эллипса

,.

Если , то эти эллипсы заполняют всю плоскость. Аналогично проверяется, что образами отрезковявляются гиперболы

.

Показательная функция

Функция допускает разложение в степенной ряд, абсолютно сходящийся во всей комплексной плоскости, следовательно, она всюду дифференцируема. Опишем множества, на которых функция взаимнооднозначна. Очевидное равенство показывает, что плоскость можно разбить на семейство полос, каждую из которых функция взаимнооднозначно отображает на всю комплексную плоскость. Это разбиение существенно для того, что бы понять, как устроена обратная функция, точнее обратные функции. На каждой из полос естественным образом определено обратное отображение

Обратная функция и в этом случае многолистна, причем количество обратных функций бесконечно.

Геометрическое описание отображения довольно простое: прямые переходят в лучи, отрезкипереходят в окружности.

Для продолжения скачивания необходимо собрать картинку:

Источник:

studfiles.net

Функции комплексного переменного - MathHelpPlanet

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]

Введение в анализ

ные аксиоматические теории

Теория очередей (СМО)

Функции комплексного переменного Основные понятия функций комплексного переменного

Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области.

Пусть заданы два множества [math]D[/math] и [math]G[/math] комплексных чисел.

Если каждому значению [math]z\in D[/math] ставится в соответствие число [math]w\in G[/math] , то говорят, что на множестве [math]D[/math] задана функция [math]w=f(z)[/math] комплексного переменного, т.е.

Если записать числа [math]z[/math] и [math]w[/math] в алгебраической форме: [math]z=x+iy,

w=u+iv[/math] , то замечаем, что действительная [math]u=\operatornamef(z)[/math] и мнимая [math]v=\operatornamef(z)[/math] части функции [math]f(z)[/math] являются функциями переменных [math]x[/math] и [math]y\colon\, u=u(x,y)[/math] и [math]v=v(x,y)[/math] .

Задание функции [math]w=f(z),

z\in D[/math] эквивалентно заданию на множестве [math]D[/math] двух функций [math]u=u(x,y),

v=v(x,y)[/math] двух действительных переменных.

Кроме того, если для числа [math]w[/math] записать модуль [math]|w|=\sqrt[/math] и аргумент [math]\arg w=\varphi,

\operatorname\varphi=\frac[/math] для [math]u\ne0[/math] и [math]\varphi=\pm \frac<\pi><2>[/math] при [math]u=0[/math] ( [math]\varphi=\frac<\pi><2>[/math] при [math]v>0[/math] и [math]\varphi=-\frac<\pi><2>[/math] при [math]v<0[/math] ), то получим аналогичное утверждение. Задание функции комплексного переменного [math]w=f(z)[/math] равносильно заданию двух функций двух действительных переменных. Первая из функций определяет модуль функции: [math]|f(z)|= F(x,y)= \sqrt[/math] , вторая — аргумент функции: [math]\arg f(z)=\Phi(x,y)[/math] , где [math]\operatorname\Phi(x,y)= \frac[/math] в точках, в которых [math]u(x,y)\ne0;

Пример 2.1. Найти значение функции [math]f(z)=iz^2-\overline[/math] в точках [math]z_1=1+i[/math] и [math]z_2=2i[/math] .

Пример 2.2. Найти [math]\operatornamef(z),

Отображения на комплексной плоскости

Задание функции комплексного переменного [math]f(z)[/math] с областью определения [math]D[/math] и областью значений [math]G[/math] есть отображение множества [math]D[/math] на множество [math]G[/math] , [math]f\colon D\to G[/math] (рис. 2.1).

Точка [math]w\in G[/math] называется образом точки [math]z[/math] при отображении [math]w=f(z)[/math] , точка [math]z\in D[/math] — прообразом.

По определению предполагается однозначность отображения, т.е. каждому числу [math]z\in D[/math] соответствует единственное значение [math]w\in G[/math] , но при этом может оказаться, что точка [math]w[/math] является образом двух или более точек [math]z\in D[/math] (на рис. 2.1 это точка [math]w_0[/math] , так как [math]w_0=f(z_1)[/math] и [math]w_0=f(z_2)[/math] ).

Если любое значение [math]w\in G[/math] является образом только одной точки [math]z\in D[/math] , то отображение называется однолистным в [math]D[/math] , в противном случае — неоднолистным. Из определения следует, что однолистное отображение является взаимно однозначным отображением.

Простейшими однолистными (во всей комплексной плоскости) отображениями являются отображения [math]w=z,

w=\overline[/math] . Первое отображает любую область, в том числе и всю комплексную плоскость, на себя, второе — верхнюю полуплоскость на нижнюю, а нижнюю на верхнюю.

Примером неоднолистного в [math]\mathbb[/math] отображения является [math]w=z^2[/math] . Действительно, различным точкам, например [math]z_1=1[/math] и [math]z_2=-1[/math] , соответствует одно значение [math]w=1[/math] , а точкам [math]\pm i[/math] — одно значение [math]w=-1[/math] . Неоднолистным отображением является и [math]w=z^n[/math] . Каждой точке [math]w,

w\ne\infty[/math] , соответствуют [math]n[/math] значений [math]z_,

k=0,1,\ldots,n-1[/math] . В силу этого отображение [math]w=z^n[/math] при [math]n>1[/math] называют n-листным, а отображение [math]w=z^2[/math] — двулистным.

Из определения получаем и условие однолистности отображения, отображение является однолистным на множестве [math]D[/math] , если для любых точек [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] , принадлежащих [math]D[/math] , равенство [math]f(z_1)= f(z_2)[/math] выполняется тогда и только тогда, когда [math]z_1=z_2[/math] . Иначе: отображение однолистно на множестве [math]D[/math] , если множество не содержит ни одной пары чисел [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] , таких, что [math]z_1\ne z_2[/math] и выполняется условие [math]f(z_1)= f(z_2)[/math] .

Пример 2.3. Найти область однолистности функции [math]w=z^2[/math] .

Во всей комплексной плоскости отображение не является однолистным. Но можно найти множество, где условие однолистности будет выполняться, т.е. множество, которое не содержит двух различных точек [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] , для которых [math]f(z_1)=f(z_2)[/math] .

Рассмотрим две произвольные точки [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] и разность значений функции в них: [math]w_1-w_2= z_1^2-z_2^2= (z_1-z_2)(z_1+z_2)[/math] . При [math]z_1\ne z_2[/math] равенство [math]w_1=w_2[/math] выполняется, если [math]z_1+z_2=0[/math] . Таким образом, отображение [math]w=z^2[/math] будет однолистным в любой области, в которой не лежат одновременно две точки [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] , такие, что [math]z_1=-z_2[/math] . Эти точки нужно расположить на границе области. Так как указанному условию удовлетворяют точки, симметрично расположенные относительно начала координат, то в качестве границы можно выбрать любую прямую, доходящую через [math]z=0[/math] .

Отображение однолистно в любой полуплоскости, границей которой является прямая, проходящая через начало координат, например [math]\operatornamez>0[/math] или [math]\operatornamez<0[/math] . При этом каждую такую полуплоскость [math]w=z^2[/math] отображает на всю плоскость.

Рассмотрим подробнее отображение области [math]\operatornamez>0[/math] . На границе выберем точки [math]A(-1;0),

B(1;0)[/math] (рис. 2.2,с), а обход границы в направлении от [math]A[/math] к [math]B[/math] . Образами точек [math]A[/math] и [math]B[/math] на плоскости w является одна точка [math]w=1[/math] (рис. 1.2,6). При этом и левая, и правая полуоси действительной оси отображаются в действительную положительную полуось. Любая область [math]D[/math] , принадлежащая верхней полуплоскости, взаимно однозначно отображается на соответствующую область [math]G[/math] .

Взаимная однозначность отображения нарушается на границе. Чтобы отображение было взаимно однозначным (однолистным) и на границе, сделаем "разрез" действительной положительной полуоси. Будем считать, что эта полуось состоит из двух "частей" — верхнего "берега" и нижнего "берега" (рис. 2.2,6). Полуось как граница пробегается точкой дважды, скачала по нижнему "берегу" в направлении от точки [math]A[/math] к [math]O[/math] , потом по верхнему — от [math]O[/math] к [math]B[/math] .

Функция [math]w=z^2[/math] взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси.

Также на всю плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси функция [math]w=z^2[/math] отображает и нижнюю полуплоскость (на рис. 2.2,с обход от [math]B[/math] к [math]A[/math] ), только при этом образом точки [math]B[/math] будет точка нижнего "берега" разреза ( [math]A[/math] на рис. 2.2,6). Заметим также, что правая [math](\operatorname z>0)[/math] и левая [math](\operatornamez<0)[/math] полуплоскости переходят при отображении [math]w=z^2[/math] в плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси.

В силу указанной особенности отображение является двулистным в [math]D[/math] .

Пример 2.4. Исследовать на однолистность отображения: а) [math]w=az+b,

а) Отображение однолистно во всей комплексной плоскости, так как для [math]w_1=az_1+b[/math] и [math]w_2=az_2+b[/math] равенство [math]w_1-w_2=0[/math] выполняется тогда и только тогда, когда [math]z_1=z_2[/math] .

б) При [math]z\ne0[/math] для [math]w_1=\frac<1>[/math] и [math]w_2=\frac<1>[/math] имеем [math]w_1-w_2=\frac[/math] . Поэтому для любых [math]z_1[/math] и [math]z_2[/math] при [math]z_1\ne z_2[/math] получаем [math]w_1\ne w_2[/math] и [math]w_1\ne w_2[/math] только при условии [math]z_1\ne z_2[/math] . Отображение однолистно всюду в [math]\mathbb\setminus\<0\>[/math] .

в) Во всей плоскости отображение не является однолистным, так как, например, для точек [math]z_1[/math] и [math]z_2=z_1\exp \frac<2\pi i>[/math] значения функции совпадают: [math]w_1=z_1^n[/math] и [math]w_2=z_1^n\cdot1[/math] .

Однолистным отображение будет в любой области, принадлежащей углу наклона [math]\frac<2\pi>[/math] с вершиной в начале координат. Каждый такой угол функция [math]w=z^n[/math] отображает на всю плоскость с разрезом по лучу [math][0;+\infty)[/math] , в частности по действительной положительной полуоси (рис. 2.3).

Обратные и многозначные функции комплексного переменного

Понятие обратной функции для функции комплексного переменного вводится, как и в действительной области.

Пусть задана функция [math]w=f(z),

f\colon D\to G[/math] . Тогда по определению любому числу [math]w[/math] из области [math]G[/math] соответствует одно или несколько значений [math]z[/math] из области [math]D[/math] таких, что [math]f(z)=w[/math] , т.е. для любого [math]w\in G[/math] уравнение [math]f(z)=w[/math] имеет решения и области [math]D[/math] . В таком случае говорят, что уравнение [math]f(z)=w[/math] определяет функцию [math]z=f^<-1>(w)[/math] , обратную функции [math]w=f(z)[/math] .

Существование функции, согласно определению, предполагает ее однотипность, т.е. для случая обратной функции — это единственность решения уравнения [math]f(z)=w[/math] при всяком фиксированном [math]w[/math] из [math]G[/math] . Очевидно, в общем случае уравнение определяет неоднозначную функцию.

Достаточным условием однозначности обратной функции является однолистность функции [math]f(z)[/math] .

Пример 2.5. Найти функции, обратные к следующим однолистным функциям:

a\ne0[/math] ; в) [math]w=\overline[/math] .

а) Из равенства [math]w=az+b[/math] получаем [math]z=\frac[/math] , или [math]z=a_1w+b_1[/math] . Обратная к линейной функции также является линейной, однозначной. Линейная функции взаимно однозначно отображает комплексную плоскость на себя: [math]\mathbb\to \mathbb[/math] . Если положить [math]w(\infty)=\infty[/math] , то можно говорить о взаимно однозначном отображении расширенной плоскости на себя: [math]\overline<\mathbb>\to \overline<\mathbb>[/math] .

a\ne0[/math] , получаем [math]z=\frac[/math] . Функция сама себе обратная, однозначная; осуществляет взаимно однозначное соответствие плоскости с выброшенной точкой [math]z=0[/math] на всю комплексную плоскость. Если положить [math]w(0)=\infty[/math] , a [math]w(\infty)=0[/math] , то получим отображение [math]f\colon \overline<\mathbb>\to \overline<\mathbb>[/math] .

в) Отображение [math]w=\overline[/math] , очевидно, однолистное, так как из [math]w_1-w_2= \overline_1-\overline_2[/math] , или иначе [math]w_1-w_2= \overline[/math] , получаем, что для любых значений [math]z_1[/math] и [math]z_2,

z_1\ne z_2[/math] значения функции не совпадают, т.е. [math]w_1\ne w_2[/math] . Функция [math]z=\overline[/math] , обратная к функции [math]w=\overline[/math] , является однозначной.

Функции, обратные к неоднолистным. Выделение однозначных ветвей

С неоднозначными функциями приходится встречаться в математическом анализе. Например, уравнение [math]x^2+y^2=1[/math] на множестве [math]|x|<1[/math] определяет двухзначную функцию [math]y=\pm\sqrt<1-x^2>[/math] , точнее, две функции: [math]y=-\sqrt<1-x^2>[/math] и [math]y=\sqrt<1-x^2>[/math] . Геометрически — это две части окружности, верхняя и нижняя полуокружности. Эти функции можно назвать двумя однозначными ветвями функции, определяемой неявно уравнением [math]x^2+y^2=1[/math] . Отделение этих функций — выделение однозначных ветвей — здесь не представляет затруднений. Говоря о верхней полуокружности, подразумеваем то решение уравнения [math]x^2+y^2=1[/math] , где [math]y>0[/math] , поэтому ветвь [math]y=\sqrt<1-x^2>[/math] можно выделить, задавая значения функции во внутренней точке промежутка [math]|x|<1[/math] , например [math]y(0)=1[/math] ; говоря о нижней, можем задать [math]y(0)=-1[/math] .

Аналогично в комплексной области предполагаем однозначность функции, однако термин "функция" применяем и к случаю неоднозначных отображений.

Примерами неоднозначных отображений являются функции, обратные к неоднолистным. Например, функция [math]w=\sqrt[/math] , обратная к функции [math]w=z^2[/math] , неоднозначная.

Вопрос о возможности выделения в соответствующих областях однозначных ветвей — однозначных, непрерывных функций и построении таких функций связан с исследованием простейшей многозначной функции [math]w=\operatornamez[/math] .

Функция аргумента Arg(z)

Функция [math]w=\operatornamez[/math] является многозначной, что следует из способа введения полярных координат, а именно аргумент числа [math]z

(z\ne0)[/math] определяется с точностью до слагаемого, кратного [math]2\pi[/math] .

При перемещении любой точки [math]z

(z\ne0)[/math] по произвольной непрерывной кривой аргумент числа [math]z[/math] непрерывно изменяется. При этом, если кривая замкнутая, то возможны два случая. В одном случае точка после обхода возвращается в исходное положение с прежним значением аргумента. Так будет для любой кривой, не совершающей обхода вокруг начала координат (рис. 2.4,а). В другом случае аргумент изменяется на [math]2\pi[/math] или [math](-2\pi)[/math] в зависимости от направления обхода, а при n-кратном обходе — на [math]2kn,

k=n[/math] или [math]k=-n[/math] . Это имеет месте в случае, когда точка при перемещении обходит начало координат (рис. 2.4.б).

Аргумент как функция точки будет однозначной функцией в области, которая не содержит кривых, совершающих обход точки [math]z=0[/math] . В качестве такой области можно взять плоскость с разрезом по любому лучу, выходящему из начала координат, в частности, с разрезом по действительной отрицательной полуоси — область [math]D_2,\,-\pi<\arg z<\pi[/math] ; можно выбрать разрез по действительной положительной полуоси — область [math]D_1[/math] , где главное значение аргумента определяется равенством [math]0<\arg z<2\pi[/math] (рис. 2.5). Заметим, что аргументы числа, геометрически соответствующего одной и той же точке областей [math]D_1[/math] и [math]D_2[/math] , могут быть различны. Например. в области [math]D_1\colon\,\arg(-i)= \frac<3\pi><2>[/math] , а в области [math]D_2\colon\,\arg(-i)=-\frac<\pi><2>[/math] .

Границами каждой из областей [math]D_1[/math] и [math]D_2[/math] являются два "берега" соответствующей полуоси, обход границ на рисунках указан стрелками.

Пример 2.6. Исследовать возможность выделения однозначных ветвей неоднозначной, функции [math]w=\sqrt[/math] .

Функция является неоднозначной как обратная к неоднолистной [math]w=z^2[/math] . Её неоднозначность (двузначность), согласно правилу извлечения корня, связана с неоднозначностью аргумента: [math]\sqrt= \sqrt<|z|>\cdot e^<2>+ k\pi\right)>,

Для каждого [math]z

(z\ne0)[/math] получаем два значения [math]w[/math] , для одного из которых [math]\arg w_1= \frac<1><2>\arg[/math] , для другого [math]\arg w_2= \frac<1><2>\arg+\pi[/math] . При этом в силу равенства [math]e^=-1[/math] эти значения функции отличаются только знаком, [math]w_2=w_1\cdot e^[/math] , то есть [math]w_1=-w_2[/math] . Например, значению [math]z=-1[/math] (точка [math]C[/math] в плоскости [math]z[/math] на рис. 2.6 и 2.7) соответствуют два значения [math]w\colon\, w=\pm i[/math] (точки [math]C[/math] в плоскости w на рис. 2.6 и 2.7).

В плоскости с разрезом по лучу [math][0;+\infty)[/math] ( [math]D_1[/math] на рис. 2.5) возможно выделение однозначных ветвей аргумента. Можно рассмотреть две функции:

Первая из них переводит область [math]D_1[/math] — плоскость с разрезом — в область [math]G_1[/math] , где [math]\operatornamew>0[/math] (на рис. 2.6 точка [math]C[/math] принадлежит области [math]G_1[/math] ), так как для [math]\arg w= \frac<1><2>\arg z[/math] имеем неравенство [math]0<\arg w<\pi[/math] .

Положительный обход границ указан стрелками. В точках границы области [math]D_1[/math] однозначность нарушается, но в силу сделанного разреза действительные положительные значения [math](z=x,

x>0)[/math] рассматриваются дважды: на верхнем "берегу" и на нижнем "берегу". Например, при [math]z=1[/math] это точки [math]A[/math] — верхнего "берега" и [math]B[/math] — нижнего, а при [math]z=2[/math] точки [math]E[/math] — верхнего "берега" и [math]F[/math] — нижнего (рис. 2.6). При отображении [math]w=(\sqrt)_1[/math] точкам верхнего "берега" соответствуют положительные значения [math]\sqrt[/math] (точки [math]A[/math] и [math]E[/math] ), а точкам нижнего — отрицательные (точки [math]B[/math] и [math]F[/math] ).

Вторая функция [math](\sqrt)_2[/math] переводит область [math]D_2[/math] — плоскость с разрезом [math][0;+\infty)[/math] на нижнюю полуплоскость [math]\operatornamew<0[/math] (рис. 2.7), так как для [math]\arg w=\frac<1><2>\arg z+\pi[/math] имеем неравенство [math]\pi<\arg w<2\pi[/math] . На рис. 2.7 точка [math]C[/math] принадлежит области [math]G[/math] .

Граничным точкам верхнего "берега" соответствуют отрицательные значения [math]\sqrt[/math] (точка [math]B[/math] ), а точкам нижнего "берега" — положительные (точка [math]A[/math] ).

Отображение и разрез плоскости

Из приведенных рассуждений сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Двузначная функция [math]\sqrt[/math] отображает плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси (область [math]D[/math] ) на верхнюю полуплоскости (область [math]G_1[/math] ) и нижнюю (область [math]G_2[/math] ). В области [math]D[/math] возможно выделение однозначных ветвей — двух однозначных функций, одна из которых отображает [math]D[/math] на [math]G_1[/math] , другая — [math]D[/math] на [math]G_2[/math] . Однозначное отображение всей плоскости [math](z\ne0)

Замечание 2.1. Проведение разреза в плоскости позволило получить однозначные функции, с которыми можно производить обычные операции (нахождение значений функции, дифференцирование, интегрирование). Указание определенной ветви осуществляется заданием функции в некоторой точке области. Например, при задании условия [math]\sqrt<-1>=i[/math] рассматривается ветвь [math](\sqrt)_1[/math] ; при условии [math]\sqrt<-1>=-i[/math] — ветвь [math](\sqrt)_2[/math] (на рис. 2.6 и 2.7 точка [math]C[/math] ). Но, с другой стороны, проведение разреза нарушило непрерывность отображения. Нарушенную непрерывность можно восстановить следующим образом. На основе приведенных рассуждений имеем, что значения [math](\sqrt)_1[/math] на верхнем "берегу" границы области [math]D[/math] совпадают со значением функции [math](\sqrt)_2[/math] на нижнем "берегу" той же области, и наоборот (точки [math]A[/math] и [math]B[/math] на рис. 2.6 и 2.7). Поэтому можно построить следующую модель.

Возьмем два экземпляра (листа) плоскости [math]D[/math] (плоскость с разрезом), а именно [math]D_1[/math] и [math]D_2[/math] и "склеим" верхний "берег" разреза [math]D_1[/math] с нижним для [math]D_2[/math] , a нижний [math]D_2[/math] — с верхним для [math]D_1[/math] . В плоскости [math](w)[/math] при этом получим полную плоскость [math]\overline[/math] . Построенная модель называется римановой поверхностью функции [math]w=z^2[/math] .

Если в плоскости [math](z)[/math] точка описывает простую замкнутую кривую, обходя начало координат, то в плоскости [math](w)[/math] ей будет соответствовать кривая, совершающая дважды обход вокруг [math]w=0[/math] , а на римановой поверхности — простая кривая, по которой точка, взятая, например, на первом листе, перемещается по этому листу, потом по второму и возвращается в исходное положение, совершив один обход. Непрерывность и однозначность отображения соблюдены.

Точка [math]z_0=0[/math] , при обходе вокруг которой по замкнутой кривой точка переходит с одного листа на другой, называется точкой ветвления [math]\sqrt[/math] . Также точкой ветвления [math]\sqrt[/math] является точка [math]z=\infty[/math] .

Утверждение 2.2. Функция [math]w=z^2[/math] взаимно однозначно и непрерывно отображает полную плоскость [math](z\ne0,

z\ne\infty)[/math] на риманову поверхность этой функции. Обратная функция [math]z=\sqrt[/math] также взаимно однозначно и непрерывно отображает риманову поверхность функции [math]w=z^2[/math] на полную плоскость [math](z\ne0,

Аналогично можно исследовать n-листную функцию [math]e=z^n[/math] и обратную к ней [math]w=\sqrt[n][/math] .

Предел функции комплексного переменного

(A\in \mathbb)[/math] называется пределом функции [math]f(z)[/math] в точке [math]z_0[/math] , если для любого числа [math]\varepsilon>0[/math] найдется число [math]\delta(\varepsilon)[/math] такое, что для [math]z[/math] , удовлетворяющих неравенству [math]0<|z-z_0|<\delta(\varepsilon)[/math] , выполняется неравенство [math]|f(z)-A|<\varepsilon\colon[/math]

Геометрически это означает, что для точек из проколотой ?-окрестности точки [math]z_0

z\ne z_0)[/math] соответствующие значения функции принадлежат ?-окрестности точки [math]A

Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так, [math]O_<\varepsilon>(A)[/math] или [math]|f(z)-A|<\varepsilon[/math] есть круг радиуса [math]\varepsilon[/math] с центром в точке [math]A[/math] , а проколотая окрестность точки [math]z_0\colon\, O_<\delta>(z_0),

z\ne z_0[/math] или [math]O_<\delta>(z_0)\setminus z_0[/math] , или [math]0<|z-z_0|<\delta[/math] — круг радиуса [math]\delta[/math] с центром в точке [math]z_0[/math] за исключением точки [math]z_0[/math] .

Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.

Условия существования предела функции комплексного переменного

Утверждение 2.3 (необходимое и достаточное условие существования предела функции комплексного переменного).

Для того чтобы в точке [math]z_0[/math] существовал предел функции [math]f(z)[/math] , необходимо и достаточно, чтобы в точке [math](x_0,y_0),

z_0=x_0+iy_0[/math] существовали пределы двух функций действительных переменных [math]u(x,y),

v=\operatornamef(z)[/math] ; при этом имеет место равенство

1. Из сформулированного критерия следует, что в комплексной области имеют место правила и свойства пределов такие же, как и в действительной области (за исключением, разумеется, свойств, связанных со знаками неравенств).

Например, [math]\lim_\bigl(c_1f_1(z)+ c_2f_2(z)\bigr)= c_1\lim_f_1(z)+ c_2\lim_f_2(z)[/math] (при условии, что существуют пределы в правой части равенства).

2. Можно определить понятие предела функции в точке, рассматривая не всю окрестность этой точки, а только некоторое связное множество точек из этой окрестности — предельный переход по множеству:

Здесь точки [math]z[/math] принадлежат пересечению множества [math]M[/math] и проколотой окрестности точки [math]z_0[/math] . В частности, это имеет место, если [math]M[/math] — множество точек кривой, или [math]M[/math] — замкнутое множество [math]M= \overline[/math] . Так, на рис. 2.8,а множество [math]M[/math] — кривая [math]l[/math] , функция [math]f(z)[/math] определена на [math]l[/math] и [math]\bigl\(z_0) \setminus z_0\bigr\>[/math] — дута [math]AB[/math] , за исключением точки [math]z_0[/math] . На рис. 2.8,б множество [math]M[/math] — множество [math]\overline=D\cup C[/math] , функция определена в области [math]D[/math] (или [math]\overline[/math] ), [math]\bigl\(z_0)\setminus z_0\bigr\>[/math] — заштрихованная часть области [math]D[/math] .

Непрерывность в точке функции комплексного переменного

Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке [math]z_0[/math] , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е.

Это эквивалентно следующему определению: функция [math]f(z)[/math] непрерывна в точке [math]z_0[/math] , если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е.

Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 2.3), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 2.4 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция [math]f(z)[/math] была непрерывна в точке [math]z_0[/math] , необходимо и достаточно, чтобы в точке [math](x_0,y_0),

(z_0=x_0+iy_0)[/math] были непрерывны функции

Функция, непрерывная в каждой точке области [math]D[/math] , называется непрерывной в этой области.

Замечание 2.3. Как и в действительной области, справедливы свойства непрерывности в точке для суммы, произведения, частного двух функций, а также свойство непрерывности сложной функции.

Пример 2.7. Исследовать функцию [math]w=z^n[/math] на непрерывность.

Решение. Функция [math]w=z[/math] , очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому непрерывными во всей плоскости являются функции [math]w=z^n[/math] при любом [math]n[/math] , согласно свойству непрерывности произведения.

Пример 2.8. Исследовать на непрерывность многочлен n-й степени [math]P(z)[/math] , где [math]a_k

(k=0,1,\ldots,n)[/math] — любые комплексные числа, если

Решение. Функция [math]w=c

(c=\text)[/math] , очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому, учитывая непрерывность суммы и произведения непрерывных функций и результат примера 2.7, заключаем, что многочлен [math]P(z)[/math] есть функция, непрерывная во всей комплексной плоскости.

Пример 2.9. Исследовать на непрерывность рациональную функцию [math]R(z)= \frac[/math] , где [math]P(z)[/math] и [math]Q(z)[/math] — многочлены.

Решение. Согласно замечанию 2.3 рациональная функция [math]R(z)= \frac[/math] непрерывна во всей комплексной плоскости, за исключением точек, где [math]Q(z)=0[/math] .

Пример 2.10. Исследовать на непрерывность функции [math]\overline,

Решение. Функции [math]\overline,

\operatornamez[/math] непрерывны во всей комплексной плоскости (всюду в [math]\mathbb[/math] ), что нетрудно установить, используя утверждение 2.4.

Пример 2.11. Исследовать на непрерывность функции [math]\frac<2z-1>[/math] и [math]\frac<2z-1>[/math] .

Решение. Функция [math]\frac<2z-1>[/math] непрерывна всюду в [math]\mathbb[/math] , за исключением точки [math]z=\frac<1><2>[/math] , а функция [math]\frac<2z-1>[/math] — за исключением точек [math]i[/math] и [math]-i[/math] . Этот вывод следует из решения примера 2.9.

Пример 2.12. Найти пределы функций комплексного переменного:

Решение. В первых двух случаях в силу непрерывности функций в предельных точках получаем

Так как функция [math]f(z)= \frac<2z-1>[/math] является бесконечно малой в точке [math]i[/math] , то обратная ей дробь — функция [math]\frac<1>= \frac<2z-1>[/math] бесконечно большая в этой точке. Поэтому [math]\lim_\frac<2z-1>=+\infty[/math] .

Производная функции комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного в точке [math]z_0\in\mathbb[/math] вводится так же, как и в действительной области, а именно

Здесь [math]\Delta z[/math] стремится к нулю по любой кривой, по любому направлению.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется дифференцируемой в области.

Из равенства (2.1) и свойств пределов получаем, что приращение дифференцируемой в точке функции можно записать в виде

где [math]\alpha(z_0,\Delta z)[/math] — бесконечно малая при [math]\Delta z\to0[/math] .

Очевидно, справедливо и обратное утверждение. Поэтому равенство (2.2) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в точке [math]z_0[/math] .

Кроме того, из равенства (2.2) следует, что непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости ее в этой точке, т.е. если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]

Источник:

mathhelpplanet.com

Теория функций комплексного переменного в городе Волгоград

В нашем каталоге вы сможете найти Теория функций комплексного переменного по доступной стоимости, сравнить цены, а также изучить другие книги в группе товаров Наука и образование. Ознакомиться с свойствами, ценами и рецензиями товара. Доставка выполняется в любой город РФ, например: Волгоград, Пермь, Тюмень.