Каталог книг

Теория функций комплексной переменной

Перейти в магазин

Сравнить цены

Описание

Один из выпусков "Курса высшей математики и математической физики" под редакцией А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете Московского государственного университета. В книге изложена теория функций комплексной переменной и операционного исчисления. Приведены примеры применения методов теории функций комплексной переменной. Даны основные понятия теории функций многих комплексных переменных. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности "Физика" и "Прикладная математика". 6-е издание, стереотипное

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
Р. Курант Геометрическая теория функций комплексной переменной Р. Курант Геометрическая теория функций комплексной переменной 0 р. litres.ru В магазин >>
Кравцов А., Майков А. Теория функций комплексной переменной: Методы решения задач Кравцов А., Майков А. Теория функций комплексной переменной: Методы решения задач 427 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Гусак А. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление Гусак А. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление 46 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Петрушко И. (ред.) Курс высшей математики Теория функций комплексной переменной Петрушко И. (ред.) Курс высшей математики Теория функций комплексной переменной 413 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Р. Курант Геометрическая теория функций комплексной переменной Р. Курант Геометрическая теория функций комплексной переменной 641 р. ozon.ru В магазин >>
Аксенов А. Теория функций комплексной переменной. В 2 частях. Часть 1. Учебник и практикум для академического бакалавриата Аксенов А. Теория функций комплексной переменной. В 2 частях. Часть 1. Учебник и практикум для академического бакалавриата 737 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Аксенов А. Теория функций комплексной переменной. В 2 частях. Часть 2. Учебник и практикум для академического бакалавриата Аксенов А. Теория функций комплексной переменной. В 2 частях. Часть 2. Учебник и практикум для академического бакалавриата 777 р. chitai-gorod.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Реферат Теория функций комплексного переменного

Комплексный анализ

  • 1 Общие понятия
  • 2 Бесконечно удалённая точка
  • 3 Дифференцирование
    • 3.1 Определение
    • 3.2 Другие свойства
    • 3.3 Геометрический смысл производной
  • 4 Интегрирование
    • 4.1 Контурный интеграл
  • 5 Теоремы единственности и аналитическое продолжение
  • 6 Разложение в ряд
    • 6.1 Степенной ряд
    • 6.2 Ряд Лорана
  • 7 Приложения в вещественном анализе
  • 8 История Примечания

    Литература

    • 11.1 Решебники

    Ко?мпле?ксный ана?лиз [1] , тео?рия фу?нкций ко?мпле?ксного переме?нного (или ко?мпле?ксной переме?нной; сокращенно — ТФКП) — раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента.

    1. Общие понятия

    Каждая комплексная функция w = f(z) = f(x + iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u , v называются компонентами комплексной функции f(z) .

    Понятие предела для последовательности и функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если , то и . Верно и обратное: из существования пределов компонент вытекает существование предела самой функции, и компонентами предела будут пределы компонентов. Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.

    Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин на больше-меньше. Например, нет аналога теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.

    -окрестность числа z0 определяется как множество точек z , удалённых от z0 менее чем на : . На комплексной плоскости -окрестность представляет собой круг радиуса с центром в z0 .

    2. Бесконечно удалённая точка

    В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость [2] , дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: . При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

    -окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек z , модуль которых больше, чем , то есть внешняя часть -окрестностей начала координат.

    3. Дифференцирование 3.1. Определение

    Производная для комплексной функции одного аргумента w = f(z) определяется так же, как и для вещественной:

    (здесь h — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

    Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к z с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):

    Отсюда следует, что дифференцируемости компонент u и v недостаточно для дифференцируемости самой функции.

    Более того, имеют место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

    • Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична, то есть её ряд Тэйлора сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином аналитическая функция используется также его синоним «голоморфная функция»).
    • (Теорема Лиувилля): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.
    • Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:
    • Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши — Римана), с точностью до константы-слагаемого.

    Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида u + iv , где — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.

    3.2. Другие свойства

    Пусть функции f(z) и g(z) дифференцируемы в области . Тогда и также дифференцируемы в этой области. Если g(z) в области G не обращается в ноль, то будет дифференцируема в G . Композиция функций f(g(z)) дифференцируема всюду, где она определена. Если производная функции w = f(z) в области G не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция , и она будет дифференцируема.

    Производные суммы, разности, произведения, частного от деления, композиции функций и обратной функции вычисляется по тем же формулам, что и в вещественном анализе.

    3.3. Геометрический смысл производной

    Каждая комплексная функция определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами на другую комплексную плоскость с координатами . При этом выражение:

    при малом h геометрически можно истолковать как коэффициент масштабирования, которое выполняет данное отображение при переходе от точки z к точке z + h . Существование предела , то есть модуля производной , означает, что коэффициент масштабирования одинаков в любом направлении от точки z , то есть не зависит от направления. Вообще говоря, коэффициент масштабирования меняется от точки к точке.

    Если коэффициент масштабирования k > 1 , то в окрестности точки z расстояния между точками увеличиваются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом растяжения. Если коэффициент масштабирования k < 1 , то в окрестности точки z расстояния между точками уменьшаются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом сжатия.

    Что касается аргумента производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через точку z . Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике [3] .

    4. Интегрирование

    Понятие первообразной комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла в интервале от a до b на комплексной плоскости, вообще говоря, не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл, зависящий от конкретного пути. Ниже будут указаны условия, при выполнении которых интеграл не зависит от пути, и тогда интеграл «от точки до точки» может быть определён корректно.

    Пусть уравнение определяет некоторую кусочно-гладкую кривую ? в комплексной плоскости, а функция f(z) определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на n равных частей: и рассмотрим интегральную сумму:

    Предел этой суммы при неограниченном возрастании n называется (комплексным) интегралом по кривой ? от данной функции f(z) ; он обозначается:

    Для любой функции f(z) , непрерывной вдоль ? , этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

    Здесь — компоненты f(z) . Из этого представления сразу следует, что свойства комплексного интеграла аналогичны свойствам вещественного криволинейного интеграла.

    4.1. Контурный интеграл

    Особый практический интерес представляют интегралы по (замкнутому) контуру, то есть по кусочно-гладкой кривой без точек самопересечения, у которой начальная точка совпадает с конечной. Контур можно обходить в двух направлениях; положительным считается направление, при котором ограниченная контуром область располагается слева по ходу движения.

    Если кривая ? образует замкнутый контур, употребляется особое обозначение интеграла:

    Имеет место важная интегральная теорема Коши: для любой функции f(z) , аналитической в односвязной области и для любого замкнутого контура справедливо соотношение:

    Следствие: пусть функция f(z) , аналитична в односвязной области , а точки z1,z2 из области A соединены некоторой кривой ? . Тогда интеграл зависит только от точек z1,z2 , но не от выбора соединяющей их кривой ? , так что можно обозначить его , и имеет место теорема Ньютона — Лейбница:

    где F(z) — первообразная для f(z) .

    Другие мощные инструменты для исследования комплексных и вещественных интегралов:

    • Интегральная формула Коши и её следствия: принцип максимума модуля, теоремы о среднем
    • Основная теорема о вычетах

    5. Теоремы единственности и аналитическое продолжение

    Нулём функции f(z) называется точка z0 , в которой функция обращается в ноль: f(z0) = 0 .

    Теорема о нулях аналитической функции. Если нули функции f(z) , аналитической в области D , имеют предельную точку внутри D , то функция f(z) всюду в D равна нулю.

    Следствие: если функция f(z) аналитическая в области D и не равна тождественно нулю, то в любой ограниченной замкнутой подобласти у неё может быть лишь конечное число нулей.

    Теорема единственности аналитической функции. Пусть <zn> — сходящаяся последовательность различных точек области D . Если две аналитические функции f(z),g(z) совпадают во всех точках этой последовательности, то они тождественно равны в D .

    В частности, если две аналитические функции совпадают на некоторой кусочно-гладкой кривой в D , то они совпадают всюду в D . Это значит, что значения аналитической функции даже на небольшом участке области полностью определяют поведение функции во всей области её определения. Задав аналитическую функцию на кривой (например, на вещественной оси), мы однозначно определяем её расширение (если оно возможно) на более широкую область, которое называется аналитическим продолжением исходной функции.

    Все стандартные функции анализа — многочлен, дробно-линейная функция, степенная функция, экспонента, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, логарифм — допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость. При этом для их аналитических продолжений будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:

    6. Разложение в ряд 6.1. Степенной ряд

    Определение суммы числового ряда и признаки сходимости в комплексном анализе практически такие же, как в вещественном, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль; исключение составляют признаки сходимости, в которых происходит сравнение на больше-меньше самих элементов ряда, а не их модулей.

    Всякая дифференцируемая в точке z0 функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тэйлора:

    Коэффициенты ряда вычисляются по обычным формулам. Этот ряд сходится к функции f(z) в некотором круге радиуса R с центром в точке z0 , который служит аналогом интервала сходимости вещественного ряда. В этом круге ряд абсолютно сходится, а вне его расходится. При этом возможны 3 случая.

    1. Ряд сходится в круге конечного и ненулевого радиуса.
    2. Ряд сходится во всей комплексной плоскости, то есть . Такие функции называются целыми.
    3. Ряд сходится только в точке z0 . Пример: . Такие точки z0 называются особыми для функции f(z) . Неособые точки называются правильными. Внутренность круга сходимости состоит из правильных точек.

    Граница круга сходимости содержит хотя бы одну особую точку. Отсюда следует, что радиус круга сходимости в точке z0 равен расстоянию от z0 до ближайшей к ней особой точки.

    Теорема Абеля: если R — радиус круга сходимости степенного ряда, то в любом круге с тем же центром, но меньшего радиуса, ряд сходится равномерно.

    6.2. Ряд Лорана

    Представляет большой практический интерес исследование поведения функции вблизи изолированной особой точки, то есть точки, в окрестности которой функция аналитична, но в самой точке либо не аналитична, либо не определена. Степенной ряд здесь бесполезен, поэтому вводится более общий ряд Лорана:

    Если область сходимости ряда Лорана не пуста, она представляет собой круговое кольцо: .

    Основная теорема: если функция f(z) аналитична в круговом кольце, то она может быть представлена в этом кольце сходящимся рядом Лорана, причём однозначно.

    Как и для степенного ряда, границы кольца сходимости определяются распределением особых точек функции. По виду ряда Лорана можно сделать некоторые выводы о поведении функции вблизи точки z0 .

    1. Устранимая особая точка: если ряд Лорана не содержит элементов с отрицательными степенями . Тогда это просто степенной ряд, определяющий функцию в некотором круге, окружающем . Сумма ряда в этом круге конечна и может отличаться от f(z) только в точке z0 , так что достаточно переопределить , чтобы функция стала аналитичной во всём круге. Имеет место следующий признак: если функция вблизи z0 аналитична и ограничена, то z0 — устранимая особая точка.
    2. Полюс: если ряд Лорана содержит конечное число элементов с отрицательными степенями . В этом случае функция в точке z0 бесконечна (по модулю).
    3. Существенно особая точка: если ряд Лорана содержит бесконечное число элементов с отрицательными степенями . В этом случае функция в точке z0 не может быть корректно определена так, чтобы быть непрерывной.

    7. Приложения в вещественном анализе

    С помощью теории вычетов, являющейся частью ТФКП, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам.

    Средствами комплексного анализа объясняются некоторые моменты, не поддающиеся простой интерпретации в терминах вещественного анализа. Приведем классический пример: функция

    непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой. Рассмотрим её ряд Тейлора

    Этот ряд сходится только в интервале , хотя точки не являются какими-то особенными для f(x) .

    Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного , у которой обнаруживаются две особые точки: . Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге ? = <z: | z | < 1> .

    Фундаментальные работы в комплексном анализе связаны с именами Римана, Коши, Вейерштрасса и многих других известных математиков. Теория конформных отображений стала бурно развиваться благодаря имеющимся примененениям в инженерном деле, также методы и результаты комплексного анализа применяются в аналитической теории чисел. Новый всплеск интереса к комплексному анализу связан с комплексной динамикой и теорией фракталов.

    Примечания
    1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
      • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко?мпле?ксные числа.
      • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко?мпле?ксное число.
      • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко?мплексные (компле?ксные) числа».
      • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле?ксное число (стр. 691), но Ко?мплексный анализ (стр. 695).
      • Орфографический словарь русского языка» (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей указывают варианты: «ко?мплексный» и «компле?ксный (матем.)».
    2. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., стр. 20-21.
    3. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели - djvu.504.com1.ru:8019/WWW/cf62db0aace63e65e57994fb2c1a96cb.djvu. — М .: Наука, 1973.
    Литература
    • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М .: Наука, 1968. — 472 с.
    • История математики. В 3-х томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М .: Наука, 1972. — Т. III.
    • Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.. — М .: Наука, 1981. — 304 с.
    • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд.. — М .: Наука, 1972.
    • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М .: Наука, 1967. — 304 с.
    • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М .: Наука, 1980. — 464 с.
    • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М .: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 800 с. — ISBN 5-9221-0155-2
    • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М .: Наука, 1969. — 577 с.

    11.1. Решебники
    • Решебник. Высшая математика. Специальные разделы. // Под ред.Кириллова. - М.: Физматлит, 2003.
    • Боярчук А. К. Функции комплексного переменного: теория и практика. М.: Едиториал УРСС, 2001.
    • Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М.: Высшая школа, 1986. Ч.2 - 416с.
    • Лунгу К. Н., Норин В. П., Письменный Д. Т., Шевченко Ю. А. Сборник задач по высшей математике. 2-й курс. 6-е изд. М.: Айрис-пресс, 2007.
    • Черненко В. Д.. Высшая математика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3 тт., т.3. СПб.: Политехника, 2003.

    Данный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 10.07.11 17:36:36

    Источник:

    wreferat.baza-referat.ru

  • Теория функций комплексной переменной

    Математический анализ - лекции ( СОДЕРЖАНИЕ ) 10 Теория функций комплексной переменной 10.1 Комплексные числа

    В математике большую роль играют так называемые обратные операции, необходимость выполнения которых обычно приводит к расширению классов имеющихся объектов.

    Например, операция сложения. Когда-то люди не знали отрицательных чисел. Складывая положительные числа, в ответе всегда получались положительное число. Но обратная операция – вычитание – привела к необходимости рассматривать числа отрицательные.

    Операция умножения. Перемножая целые числа, в ответе всегда получаем также целые числа. Обратная операция – деление -приводит нас к необходимости рассматривать дробные, рациональные числа.

    Операция возведения в квадрат. Квадрат рационального числа есть всегда также число рациональное. Но обратная операция – извлечение квадратного корня – приводит к иррациональным числам ( , например, не является рациональным числом).

    Но та же самая операция извлечения квадратного корня дает и еще один класс чисел. Как известно, квадрат любого рационального числа есть число неотрицательное. Поэтому и квадратный корень можно извлечь только из неотрицательных чисел (например, ). А как быть с ? Чему он равен? Ведь нет такого рационального числа, квадрат которого был бы равен – 9.

    Но, как говорится, если нельзя, но очень хочется, то можно. И желание извлекать корни из отрицательных чисел привело к новому классу чисел, называемых комплексными числами. Для их рассмотрения оказалось достаточным ввести всего лишь одно новое число

    ,

    которое называется мнимой единицей. Считается, что это «число» обладает всеми свойствами обычных чисел и имеет всего одно единственное новое свойство

    ,

    так что, например, . Числа, содержащие i , называются комплексными числами. Без них немыслима современная математика.

    10.1.1 Алгебраическая форма комплексных чисел

    Пусть x и y – обычные числа. Число вида

    называется комплексным числом в алгебраической форме.

    x называют вещественной или действительной частью числа z и обозначают так: ; y называют мнимой частью числа z и обозначают так: . Число называют комплексно сопряженным числу z . Действует следующее общее правило: «чтобы получить число, комплексно сопряженное данному, надо в нем заменить i на – i ».

    Рассмотрим операции над комплексными числами в алгебраической форме. Пусть даны два комплексных числа и .

    Равенство и сравнение комплексных чисел.

    Два комплексных числа считаются равными, если у них равны вещественные и мнимые части:

    .

    Но вот операции типа «больше» и «меньше» для комплексных чисел не имеют смысла, то есть бессмысленно писать или . Совершенно непонятно, что больше или . Комплексные числа не упорядочены.

    Сложение и вычитание.

    Сложение и вычитание двух комплексных чисел определяются совершенно естественно

    ,

    то есть надо сложить (или вычесть) отдельно вещественные и мнимые части чисел.

    Умножение двух комплексных чисел производится как умножение обычных чисел, надо лишь помнить, что :

    .

    Для деления комплексных чисел полезно запомнить следующее правило: чтобы разделить два комплексных числа друг на друга надо числитель и знаменатель умножить на число, комплексно сопряженное знаменателю. Тогда легко получить, что

    .

    10.1.2 Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

    Рис. 10.1 Геометрическая интерпретация комплексного числа

    Пусть имеется комплексное число . Возьмем на плоскости декартову систему координат и комплексному числу z поставим в соответствие точку на этой плоскости с координатами ( x , y ) (см. рис. 10.1). Таким образом, геометрически комплексные числа – это точки на плоскости (вспомните, что вещественные числа – это точки на числовой оси). Саму плоскость называют плоскостью комплексной переменной z .

    10.1.3 Тригонометрическая форма комплексного числа.

    С геометрической интерпретацией связана и еще одна форма записи комплексных чисел, называемая тригонометрической формой их записи.

    Соединим точку ( x , y ) с началом координат отрезком прямой. Длина этого отрезка r называется модулем комплексного числа z и обозначается | z | или mod ( z ).

    Угол j , который этот отрезок образует с осью ОХ, называется аргументом комплексного числа z и обозначается arg ( z ).

    Из рисунка ясно, что имеют место соотношения

    ,

    .

    Теперь мы можем записать или окончательно

    .

    Эта форма и получила название комплексного числа в тригонометрической форме.

    Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.

    Легко вывести, что

    ,

    то есть при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы – складываются.

    Можно вывести, что

    ,

    то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы – вычитаются.

    Возведение в степень.

    ,

    то есть при возведении в степень модуль возводится в эту степень, а аргумент – умножается на нее.

    Извлечение корня.

    Пусть снова . Тогда имеет место формула

    ,

    с . Таким образом, корень n -й степени из комплексного числа имеет ровно n различных значений.

    10.1.4 Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа.

    Одна из важнейших формул математического анализа – формула Эйлера – имеет вид

    .

    С учетом тригонометрической формы комплексного числа его теперь можно представить в виде

    ,

    или, с учетом того, что аргумент определяется с точностью до 2 p ,

    .

    Эта форма записи помогает, например, определить логарифм комплексного числа

    .

    10.2 Функция комплексной переменной

    Правило, которое каждой точке z из некоторой области G ставит в соответствие точку w , называется функцией комплексной переменной и обозначается .

    Рис. 10.2 К определению функции комплексной переменной

    Подчеркнем, что и аргумент z и значение функции w – комплексные переменные. Так как и , то задание сводится фактически к заданию двух функций и от двух переменных x и y , то есть .

    Основные понятия теории функций – предел функции, непрерывность функции и соответствующие им теоремы переносятся на функции комплексной переменной. Отличия начинаются в понятии производной.

    10.3 Производная от функции комплексной переменной

    Пусть задана функция . Говорят что у существует производная в точке z , если существует

    .

    Определение. Если имеет производную в каждой точке области G , то она называется аналитической в области G .

    Выясним геометрический смысл производной. Рассмотрим на плоскости z бесконечно малый отрезок, соединяющий точки z и D z . Тогда длина этого отрезка есть | D z |, а arg D z есть угол, который этот отрезок образует с осью OX (см. рис. 10.3).

    Аналогично, на плоскости w бесконечно малый отрезок, соединяющий точки w и D w . Тогда длина этого отрезка есть | D w |, а arg D w есть угол, который этот отрезок образует с осью OU .

    Рис. 10.3 Геометрический смысл производной от функции комплексной переменной

    А теперь вспомним, что , , так что . Тогда получим

    .

    .

    Отношение есть отношение длин отрезков и . Таким образом, есть коэффициент растяжения бесконечно малого отрезка при его отображении с плоскости z на плоскость w .

    ,

    то есть угол поворота бесконечно малого отрезка при его отображении с плоскости z на плоскость w . Заметим, что этот угол поворота не зависит от , то есть от направления отрезка .

    10 . 4 Условия Коши-Римана

    Пусть дана функция комплексной переменной , у которой в точке существует производная . Тогда в этой точке выполнены соотношения

    ,

    которые и называются условиями Коши-Римана. Если функции и дифференцируемы в точке то эти условия достаточны для существования .

    10.5 Интеграл от функции комплексной переменной

    Рис. 10.4 К построению интеграла от функции комплексной переменной

    Разобьем всю кривую на кусочки точками так, что начало кривой есть точка , а конец – точка . На каждом кусочке произвольным образом выберем среднюю точку и составим интегральную сумму

    .

    Пусть . Если существует и этот предел не зависит от способа разбиения кривой С на кусочки и от способа выбора средней точки, то он называется интегралом от функции по кривой С:

    .

    Важнейшее неравенство на этот интеграл имеет вид

    ,

    где есть длина кривой С.

    Теорема. Если аналитична в односвязной области G , то по всем кривым С, лежащим в G , зависит только от начала и конца кривой и не зависит от вида этой кривой.

    10.6 Интегральные формулы Коши

    Теорема 1. Пусть аналитична в односвязной области G . Тогда для любой точки имеет место формула

    ,

    где C – любой простой контур, лежащий в G и охватывающий z . В частности, в качестве контура С может быть взята граница области G .

    Эта теорема устанавливает очень интересное свойство аналитической функции: ее значения на границе области полностью определяют ее значения внутри области.

    Теорема 2. Если аналитична в односвязной области G , то в этой области у нее существуют производные всех порядков, причем

    ,

    где C – любой простой контур, лежащий в G и охватывающий z . В частности, в качестве контура С может быть взята граница области G .

    Эта теорема устанавливает еще одно очень интересное свойство функций комплексной переменной, не имеющее аналога для функций вещественной переменной: существование первой производной гарантирует существование всех остальных производных.

    Неравенство Коши. Обозначим через минимальное расстояние от точки z до контура С, и пусть . Тогда имеет место неравенство

    Источник:

    www.allmath.ru

    Теория функций комплексной переменной в городе Ярославль

    В представленном интернет каталоге вы имеете возможность найти Теория функций комплексной переменной по доступной стоимости, сравнить цены, а также посмотреть другие книги в категории Наука и образование. Ознакомиться с свойствами, ценами и обзорами товара. Транспортировка выполняется в любой населённый пункт РФ, например: Ярославль, Иваново, Нижний Новгород.