Каталог книг

Метод усреднения в прикладных задачах

Перейти в магазин

Сравнить цены

Категория: Книги

Описание

В книге излагается совокупность математических методов, позволяющих исследовать сложные нелинейные колебательные системы, которая получила в литературе название метод усреднения . Автор описывает конструктивную часть этого метода, т. е. конкретную реализацию и соответствующие алгоритмы, на математических моделях, достаточно общих, но построенных на основе конкретных задач. Стиль изложения таков, что читатель, заинтересованный в овладении техникой и алгоритмами асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, сможет после изучения данной книги самостоятельно решать аналогичные задачи. Для специалистов в области прикладной математики и механики.

Сравнить Цены

Предложения интернет-магазинов
В. Ш. Бурд Метод усреднения на бесконечном промежутке и некоторые задачи теории колебаний В. Ш. Бурд Метод усреднения на бесконечном промежутке и некоторые задачи теории колебаний 169 р. litres.ru В магазин >>
А. В. Толок Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании А. В. Толок Функционально-воксельный метод в компьютерном моделировании 484 р. ozon.ru В магазин >>
Соболевский Н. Метод Монте-Карло в задачах о взаимодействии частиц с веществом Соболевский Н. Метод Монте-Карло в задачах о взаимодействии частиц с веществом 1136 р. chitai-gorod.ru В магазин >>
Ю. Я. Агранович Сглаживание временных рядов показателей финансовых рынков на основе метода многоугольных чисел Ю. Я. Агранович Сглаживание временных рядов показателей финансовых рынков на основе метода многоугольных чисел 79.9 р. litres.ru В магазин >>
А. И. Жиров, В. В. Дмитриев, А. Н. Ласточкин Прикладная экология. Учебник. В 2 томах. Том 1 А. И. Жиров, В. В. Дмитриев, А. Н. Ласточкин Прикладная экология. Учебник. В 2 томах. Том 1 1199 р. ozon.ru В магазин >>
А. И. Жиров, В. В. Дмитриев, А. Н. Ласточкин Прикладная экология. Учебник. В 2 томах. Том 2 А. И. Жиров, В. В. Дмитриев, А. Н. Ласточкин Прикладная экология. Учебник. В 2 томах. Том 2 1099 р. ozon.ru В магазин >>
Андрей Иванович Жиров Прикладная экология. В 2 т. Том 1 2-е изд., пер. и доп. Учебник для академического бакалавриата Андрей Иванович Жиров Прикладная экология. В 2 т. Том 1 2-е изд., пер. и доп. Учебник для академического бакалавриата 759 р. litres.ru В магазин >>

Статьи, обзоры книги, новости

Метод усреднения в прикладных задачах

Метод усреднения в прикладных задачах

Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986. - 256 с.

В книге излагается совокупность математических методов, позволяющих исследовать сложные нелинейные колебательные системы, которая получила в литературе название «метод усреднения».

Автор описывает конструктивную часть этого метода, т. е. конкретную реализацию и соответствующие алгоритмы, на математических моделях, достаточно общих, но построенных на основе конкретных задач. Стиль изложения таков, что читатель, заинтересованный в овладении техникой и алгоритмами асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, сможет после изучения данной книги самостоятельно решать аналогичные задачи.

Для специалистов в области прикладной математики и механики.

Оглавление

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Источник:

know.sernam.ru

Метод усреднения в прикладных задачах, Гребеников Е

Метод усреднения в прикладных задачах, Гребеников Е.А., 1986

Метод усреднения в прикладных задачах, Гребеников Е.А., 1986.

Автор описывает конструктивную часть этого метода, т. е. конкретную реализацию и соответствующие алгоритмы, на математических моделях, достаточно общих, но построенных на основе конкретных задач. Стиль изложения таков, что читатель, заинтересованный в овладении техникой и алгоритмами асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, сможет после изучения данной книги самостоятельно решать аналогичные задачи.

Для специалистов в области прикладной математики и механики.

Основной объект исследования.

В качестве математических моделей для колебательных явлений, как правило, можно рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения (обыкновенные или в частных производных), правые части которых зависят периодическим образом от всех или некоторых искомых функций и времени.

Система (21) предполагается удовлетворяющей основным теоремам теории дифференциальных уравнений (теореме существования и единственности решения и др.).

§ 0.1. Основные обозначения

§ 0.2. Асимптотические представления и ряды. Их свойства

§ 0.3. Основной объект исследования

§ 0.4 Краткое содержание книги

Глава I. Метод усреднения в нерезонансных системах

§ 1.1. Обобщенное уравнение метода усреднения

§ 1.2. Сущность метода усреднения

§ 1.3. Наиболее распространенные операторы усреднения

§ 1.4. Оператор усреднения при постоянных возмущениях

§ 1.5. Стандартные системы

§ 1.6. О структуре асимптотических разложений

§ 1.7. Системы с медленными и быстрыми переменными без частотных резонансов

§ 1.8. Системы с быстрыми переменными без частотных резонансов

§ 1.9. Многочастотные автономные вращательные системы без частотных резонансов

§ 1.10. Алгоритм усечения правых частей дифференциальных уравнений

§ 1.11. Практически нерезопансные автономные вращательные системы

§ 1.12. Сильно возмущенные системы

Глава II. Приложения метода усреднения к одночастотным системам

§ 2.1. Метод гармонического баланса

§ 2.2. Автономный осциллятор Ван-дер-Поля

§ 2.3. Неавтономный осциллятор Ван-дер-Поля

§ 2.4. Уравнение Дюффинга

§ 2.5. Уравнение Матье

§ 2.6. Устойчивость колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса

§ 2.7. Колебания крутильной системы под воздействием случайных помех

§ 2.8. Определение периода вращения планеты Меркурий вокруг своей оси

§ 2.9. Метод асимптотических разложений в системах с N степенями свободы

Глава III. Метод усреднения в резонансных системах

§ 3.1. Классификация частотных резонансов

§ 3.2. Геометрическая интерпретация решений многочастотных систем

§ 3.3. Системы уравнений Ван-дер-Поля

§ 3.4. Многочастотные автономные вращательные системы с резонансом начальных частот

§ 3.5. Асимптотическая теория автономных резонансных вращательных систем, использующая усреднение по быстрым переменным

§ 3.6. Алгоритм сшивки резонансных и нерезонансных участков траекторий

§ 3.7. Асимптотическая теория автономных, резонансных вращательных систем, использующая усреднение при постоянных возмущениях

§ 3.8. Неавтономные вращательные системы

§ 3.9. Релаксационные колебания

Глава IV. Исследование математических моделей, в которых возможны частотные резонансы

§ 4.1. Проблема малых знаменателей. Краткая история вопроса

§ 4.2. Проблема трех тел

§ 4.3. Общая схема усреднения для задач небесной механики

§ 4.4. Ограниченная задача трех тел

§ 4.5. Алгоритмы, реализующие обращение первых интегралов дифференциальных уравнений ограниченной круговой задачи трех тел

§ 4.6. Приведение квазилинейных уравнений в частных производных к бесконечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений

§ 4.7. Энергетический метод построения амплитудно-фазовых уравнений

§ 4.8. Поперечные колебания стержня под воздействием подвижного груза и пульсирующей силы

§ 4.9. Построение решений многочастотных систем с помощью дискретного преобразования Фурье

§ 4.10. Алгоритм построения преобразования Крылова - Боголюбова с помощью ЭВМ

Глава V. Асимптотические методы в теории канонических систем

§ 5.1. Канонические уравнения, канонические преобразования. Их свойства

§ 5.2. Уравнение Гамильтона - Якоби. Теорема Якоби

§ 5.3. Теоремы Пуассона. Адиабатические инварианты

§ 5.4. Метод вариации постоянных

§ 5.5. Применение метода усреднения к каноническим системам. О нормализации канонических систем

§ 5.6. Применение метода усреднения к уравнению Гамильтопа - Якоби

§ 5.7. Метод Биркгофа нормализации гамильтониана

§ 5.8. Метод нормализации Хори - Депри

§ 5.9. Решение операторного уравнения Ли

§ 5.10. Описание комплекса программ для нормализации гамильтонианов

§ 5.11. Нормализация двумерных гамильтоновых систем (нерезонансный случай)

§ 5.12. Нормализация двумерных гамильтоновых систем (резонансный Случай)

§ 5.13. Об устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем

§ 5.14. Метод ускоренной сходимости

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате и читать:

Источник:

nashol.com

Djvu: Метод усреднения в прикладных задачах

Метод усреднения в прикладных задачах.

Автор описывает конструктивную часть этого метода, т. е. конкретную реализацию и соответствующие алгоритмы, на математических моделях, достаточно общих, но построенных на основе конкретных задач. Стиль изложения таков, что читатель, заинтересованный в овладении техникой и алгоритмами асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, сможет после илучеиия данной книги самостоятельно решать аналогичные задачи.

Для специалистов в области прикладной математики и механики.

Разработка простого метода для решения сложных задач вычислительной и прикладной математики. Построение гибкого сеточного аппарата для решения практич.

В книге освещено состояние усреднения руд черных и цветных металлов на отечественных и зарубежных горнодобывающих предприятиях. Рассмотрены вопросы пл.

Изучение численных методов решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Нахождение корня уравнения методом простой итерации и мето.

Численные методы решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах. Составление логической схемы алгоритма, таблицы индентификаторов и п.

В этой небольшой книге излагается метод пограничного слоя - весьма универсальный метод, позволяющий находить: коротковолновую асимпототику решений мно.

Источник:

www.tnu.in.ua

Метод усреднения в прикладных задачах - Е

Метод усреднения в прикладных задачах

У нас вы можете скачать книгу «Метод усреднения в прикладных задачах» в fb2, txt, pdf, epub, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Чтобы получить книгу заполните поле ниже и нажмите скачать. Описание: В книге излагается совокупность математических методов, позволяющих исследовать сложные нелинейные колебательные системы, которая получила в литературе название "метод усреднения". Автор описывает конструктивную часть этого метода, т. е. конкретную реализацию и соответствующие алгоритмы, на математических моделях, достаточно общих, но построенных на основе конкретных задач. Стиль изложения таков, что читатель, заинтересованный в овладении техникой и алгоритмами асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, сможет после изучения данной книги самостоятельно решать аналогичные задачи. Для специалистов в области прикладной математики и механики.

Источник:

artbookz.ru

Метод усреднения в прикладных задачах

Метод усреднения в прикладных задачах

Всегда "en grand" история берет

События, детали опуская.

Принцип усреднения — один из мощнейших методов теории возмущений. Суть его заключается в замене правых частей дифференциальных уравнений, содержащих "колеблющиеся" члены, усредненными "автономными" функциями, не содержащими явно времени t. Более подробно. Пусть, например, исходный процесс, описываемый дифференциальным уравнением, подвержен малым порядка ε возмущениям. Тогда в силу непрерывной зависимости решений от параметра в общем случае возмущения решений на фиксированном промежутке времени будут иметь тот же порядок малости, а именно ε. Если нас интересует поведение решений на больших, растущих с убыванием ε интервалах, то такого заключения уже сделать нельзя: к примеру на интервалах порядка 1/ε возмущения решений будут уже, как правило, конечными. Принцип усреднения предлагает рецепт, позволяющий заменить сложные возмущающие члены в уравнении более простыми (автономными) и при этом учесть основной вклад в процесс, вносимый этими возмущениями на временах порядка 1/ε.

Поясним сказанное на простейшем примере. Рассмотрим уравнение

как малое возмущение уравнения

(ε — малый положительный параметр). Пусть φ и ψ — решения уравнений (1) и (2), удовлетворяющие начальному условию

Нетрудно видеть, что φ и ψ близки при малых ε на любом промежутке [0, T] и таковыми не являются на промежутке вида [0, T/ε] (см. рис. 1 ). Точнее это сформулировано в следующих задачах.

Если же мы не будем отбрасывать возмущающий член ε(sin 2 t)x, а заменим его более простым "усредненным", а именно, заменим коэффициент sin 2 t в (1) его средним значением:

то мы получим уравнение

решения которого аппроксимируют решения уравнения (1) уже и на промежутках длины порядка 1/ε. Точнее,

Таким образом, уравнение (4) более точно, нежели уравнение (2), учитывает специфику уравнения (1). В (4) учтен "дрейф" фазовой точки под воздействием малого осциллирующего воздействия. Другими словами, принцип усреднения позволяет заменять сложное уравнение (здесь (1)) более простым автономным уравнением (здесь (4)) и при этом сохранять близость между решениями на большем по сравнению с простым отбрасыванием возмущающих членов промежутке.

Основным объектом изучения в теории принципа усреднения является уравнение вида

в котором ε — малый параметр, а f, как обычно, действует из R×R n в R n . (Мы будем предполагать, что оператор f удовлетворяет условиям теоремы Коши — Пикара и ограничен: |f(t, x)| ≤ M < ∞ при всех (t, x)). Такие уравнения с пропорциональной малому параметру правой частью называются в теории метода усреднения уравнениями в стандартной форме. К уравнениям в стандартной форме приводятся многие уравнения с параметром. Один из важнейших источников таких уравнений — теория нелинейных колебаний. Например, рассмотрим уравнение линейного осциллятора, на который действует малая возмущающая нелинейная сила εf:

или, что эквивалентно, систему уравнений

Невозмущенное уравнение (ε = 0), очевидно, имеет двупараметрическое семейство решений x(t) = acos(ωt + φ), y(t) = x′(t) (параметрами служат амплитуда a и фаза φ). Метод переменной фазы и амплитуды заключается в том, что решение возмущенного уравнения (6) ищут в том же виде x(t) = acos(ωt + φ), y(t) = ωasin(ωt + φ), предполагая, что a и φ являются неизвестными функциями времени. Несложные преобразования показывают, что a и φ удовлетворяют системе вида

с периодически зависящими от параметра t функциями A и Φ.

Задача О29.4. Докажите последнее утверждение.

Основным ограничением в теории принципа усреднения на уравнение (5) является требование наличия среднего значения f по t: при каждом xR n должен существовать предел

Наряду с уравнением (5) рассматривают так называемое усредненное уравнение

являющееся, по сравнению с исходным, более простым — автономным. В классической механике принцип усреднения часто приводит даже к интегрируемым в квадратурах уравнениям.

Сингулярный характер зависимости уравнения (5) от параметра становится хорошо виден после замены переменных x = W(ε)y, где W(ε) представляет собой оператор растяжение функции вдоль оси t в 1/ε раз: [W(ε)y](t) = yt). Уравнения (5) и (5у) переходят (докажите!), соответственно в уравнения

и, соответственно, — условием

Предположим усредненная задача Коши (8у), (10) имеет при ε = 1 на отрезке [0, T] единственное решение ξ1. (На самом деле требование существования и единственности решения ξ1 в нашей ситуации излишне, т. к. f0 одновременно с f удовлетворяет условию Липшица (докажите!)). Тогда, очевидно, задача Коши (5у), (10) имеет на отрезке [0, T/ε] единственное решение ξε = W(ε)ξ1. Обозначим через φε (единственное) решение задачи Коши (5), (9). Очевидно, функция ψε = W(ε –1 )φε — решение задачи (8), (10).

Функция ψε, очевидно, удовлетворяет интегральному уравнению

а ξ1 — интегральному уравнению

Интуитивно ясно, что интегралы в правых частях этих уравнений в каком-то смысле близки. Действительно, если во всяком случае, в (11) и (11у) y — функция-константа, то

справедливо и для любой непрерывной функции y. План доказательства этого утверждения изложен в следующих задачах.

Задача О29.7. Покажите, что

Задача О29.8. Покажите, что (12) справедливо для любой ступенчатой функции.

Задача О29.9. Аппроксимируя функцию y ступенчатыми, докажите справедливость (12) для любой непрерывной функции y.

Более того, если <yk> — равномерно на [0, T] сходящаяся к функции y0 последовательность непрерывных функций и εk → 0, то

Задача О29.10. Докажите (13).

Центральный результат теории принципа усреднения —

Схема ее д о к а з а т е л ь с т в а близка к схеме доказательства теоремы о непрерывной зависимости решений от параметра. В силу утверждения задачи О29.6 достаточно показать, что

Хотя правая часть уравнения (8) не является непрерывной по параметру ε в точке ε = 0, интеграл от нее уже непрерывен по этому параметру: пределом при ε → 0 в этом "интегральном" смысле служит функция f0 (такой характер зависимости от параметра называют иногда интегральной непрерывностью). Это и позволяет провести стандартные рассуждения. А именно, если (14) не выполнено, то для некоторых δ > 0, последовательности εk → 0 и последовательности <tk> ⊂ [0, T]

Из уравнения (8) следует, что

Последнее означает равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность множества <ψε>, что позволяет без ограничения общности считать последовательность <ψεk> равномерно сходящейся к некоторой непрерывной функции ψ1 (для доказательства этого нужно воспользоваться теоремой Арцеля — Асколи). Переходя теперь с помощью (13) в равенстве

к пределу при k → ∞, получим равенство

означающее, что ψ1 является решением задачи (8у), (10) при ε = 1. Остается заметить, что ψ1 ≠ ξ1 (в (14) последовательность <tk> можно считать, не ограничивая общности, сходящейся к некоторому t0 ∈ [0, T] и тогда в пределе |ψ1(t0) – ξ1(t0)| > δ), а это противоречит единственности решения задачи (8у), (10) . Теорема доказана.

Метод усреднения оказывается эффективным и в задаче о периодических и почти периодических колебаниях. Если предполагать, например функцию f в уравнении (5) периодической по t: f(t + T, x) ≡ f(t, x), то условие существования среднего значения f0 выполняется автоматически:

Задача О29.11. Докажите последнее равенство.

Оказывается в этом случае в окрестности асимптотически устойчивой особой точки усредненного уравнения существует периодическое решение неусредненного уравнения. Точнее, имеет место

Ее доказательство выходит за рамки книги.

В заключение продемонстрируем возможности принципа усреднения в получении асимптотических разложений по малому параметру. Рассмотрим уравнение

Специальной заменой переменных вида

(она называется заменой Боголюбова — Крылова) уравнение (16) может быть приведено к виду

(и таким образом, вся "неавтономность" уравнения остается в самом младшем члене). При этом функции qi и gi выписываются в явном виде. Если теперь функция gN+1 имеет среднее значение g 0 N+1, то рассматривают (автономное) усредненное уравнение

Литературные указания. Хотя идеи принципа усреднения восходят, по-видимому, еще к Ньютону, который исследуя движения маятника при наличии сопротивления, получил формулу для решения, совпадающую с формулой, получаемой методом усреднения, современные черты теория принципа усреднения приобрела в XX веке, в основном, в работах Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова [ Крылов — Боголюбов, Крылов — Боголюбов]. Современное изложение теории можно найти в монографиях [ Боголюбов — Митропольский, Волосов — Моргунов, Митропольский, Митропольский, Митропольский — Лыкова, Хейл].

Задачи. О29.12. Покажите, что уравнение

О29.14. Покажите, что система

О29.15. Методом усреднения найдите приближенное решение задачи Коши для системы уравнений

(ε — малый положительный параметр). Постройте соответствующее усредненное уравнение. Найдите приближенное решение задачи Коши для уравнения Ван дер Поля.

где φ и ξ — решения задач (1), (3) и (4), (3), соответственно. Таким образом, вообще говоря, близости решений неусредненного и усредненного уравнений на промежутках длины порядка большего, чем 1/ε нет.

О29.18. В то же время, если φ и ξ — решения задач Коши

О29.19. Докажите, что если f(t, x) является тригонометрическим полиномом:

О29.20. Докажите, что если f(t, x) представима в виде сходящегося равномерно по t при каждом фиксированном x ряда

О29.22. Обобщите утверждение предыдущей задачи на системы линейных уравнений с периодической n×n-матрицей a.

О29.23. Пусть f, g: R×RR — удовлетворяющие условию Липшица ограниченные T-периодические по второму аргументу функции и

Докажите, что решения задачи Коши, отвечающих одним и тем же начальным условиям, для систем

близки при малых ε на промежутках длины порядка 1/ε.

File based on translation from TEX by TTH, version 2.32.

Источник:

w.ict.nsc.ru

Метод усреднения в прикладных задачах в городе Волгоград

В этом интернет каталоге вы имеете возможность найти Метод усреднения в прикладных задачах по разумной стоимости, сравнить цены, а также посмотреть иные книги в категории Книги. Ознакомиться с свойствами, ценами и рецензиями товара. Транспортировка выполняется в любой населённый пункт РФ, например: Волгоград, Магнитогорск, Ижевск.